El Premio Nobel de Física 2016 ha sido otorgado a David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane y J. Michael Kosterlitz «por sus descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológicas y los estados de materia topológicos». Sus sorprendentes descubrimientos se publicaron a principios de los ochenta, y no fue hasta mucho más tarde que algunos de estos estados se pudieron observar experimentalmente en el laboratorio. Actualmente son objecto de una intensa investigación, y las exóticas propiedades que presentan estos materiales prometen multitud de aplicaciones en un futuro próximo. Es más que probable que este sea el primero de varios Nobel para los materiales topológicos.
De hecho, las transiciones de fase en general son un fenómeno largamente estudiado en física y la Academia sueca ha premiado con el Nobel a numerosas aportaciones a este campo. ¿Pero que tienen de especial estas fases (estados) de materia? ¿Y que relación tienen con la rama de la matemática llamada topología? Aclarar estas preguntas es el objetivo de este artículo.
Estados de la materia y transiciones de fase
La identidad de los elementos (carbono, hierro, helio, etc.) que constituyen un material o substancia no determina todas sus propiedades, también debemos tener en cuenta la forma en la que estos se ordenan. Ello da origen a diferentes fases o estados para ese material, que se asocian a distintos niveles de orden. Cada una de estas fases o estados tiene unas propiedades características que se mantienen estables dentro de un determinado rango de presión y temperatura, que dependerá de cada material. Cuando al modificar alguno de estos parámetros el material cambia de estado, hablamos de transición de fase.
Figura 1. Transiciones entre los cuatro estados fundamentales de la materia.
Los cuatro estados fundamentales de la materia son sólido, líquido, gas y plasma. Variando la temperatura y la presión podemos cambiar el estado de un material, de más ordenado (sólido) a menos (plasma), como pasa cuando damos calor para descongelar o evaporar agua. Pero existen otras fases posibles dentro de cada uno de estos estados. Por ejemplo, el carbono en estado sólido forma una estructura cristalina altamente ordenada. Sin embargo, hay distintos modos de realizar esta ordenación para los átomos de carbono. La más común es en forma de capas superpuestas de anillos exagonales, que es lo que llamamos grafito. Si aumentamos la presión, los átomos de carbono adoptan una estructura más compacta en forma cúbica, que es lo que llamamos diamante. Ambos materiales son fases distintas del mismo elemento, el carbono, sin embargo sus propiedades son totalmente opuestas: el primero es opaco y blando, mientras que el segundo es transparente y extremadamente duro.
Figura 2. Izquierda: estructuras cristalinas del diamante y del grafito. Derecha: diagrama de fases del carbono. En el eje vertical los valores de la presión y en el horizontal los de la temperatura.
El magnetismo como transición de fase
Existen otras importantes transiciones de fase en los sólidos. Algunos materiales se vuelven magnéticos a temperaturas bajas. De nuevo, esto se debe a la aparición de un nuevo nivel de orden, aunque en este caso no son los átomos los que se ordenan, sino algunos de sus electrones. De forma natural un electrón se comporta como un imán diminuto que apunta en una dirección arbitraria. Pero como dentro de cada átomo pueden haber muchos electrones, y hay muchísimos átomos en un simple pedazo de cualquier material, el efecto de estos imanes se compensa y desaparece. Sin embargo, en algunos materiales los electrones se pueden llegar a mover, y para ciertas temperaturas se alinean de forma que sus imanes apunten en una misma dirección creando un campo magnético neto. Si la temperatura sube por encima de un valor crítico (característico de cada material), el orden desaparece y el campo magnético también.
La materia se vuelve cuántica
Como hemos visto, una condición importante para la aparición de estados ordenados es la temperatura. A mayor temperatura más se agitan los elementos internos de un material, y hay menos posibilidad de estados ordenados. Así que no es de extrañar que a medida que se lograba alcanzar temperaturas más cercanas al cero absoluto, se descubrieran nuevos estados con propiedades cada vez más sorprendentes. En particular se observó que en algunos materiales desaparecía por completo y de forma súbita la resistencia eléctrica (superconductividad), y en otros la viscosidad (superfluidez). Este extraordinario comportamiento se debe a un nuevo tipo de orden en el que efectos cuánticos propios del mundo microscópico se manifiestan a nivel macroscópico. El caso más extremo es el llamado condensado de Bose-Einstein, predicho teóricamente en 1927 y observado por primera vez en un laboratorio en 1995.
Cuando la simetría se rompe
Hemos visto que hay una gran cantidad de transiciones de fase posibles. Uno de los grandes logros de la física del siglo XX ha sido relacionar todas ellas con la rotura de una simetría del sistema. En el caso del carbono, sus estructuras cristalinas presentan dos simetrías discretas distintas: el ángulo de debemos girar el cristal para que quede idéntico es distinto para el grafito y para el diamante. En el caso de la transición de líquido a sólido, se rompe una simetría continua (el líquido tiene el mismo aspecto en cualquier punto y desde cualquier ángulo) que se convierte en discreta en el sólido (solo si nos desplazamos una distancia particular o giramos un ángulo concreto volveremos a ver la misma estructura, ver Figura 3).
Figura 3 Cuando la temperatura cae por debajo de los cero grados centígrados, las moléculas de agua se agrupan en una estructura cristalina en forma de anillos hexagonales, perdiendo parte de su simetría. Solo algunos desplazamientos (como el indicado por la flecha roja) o rotaciones de 60º dejan invariante la estructura.
Transiciones topológicas. Un nuevo paradigma.
El éxito de la teoría de transiciones de fase basada en la rotura espontánea de simetría fue tan grande que durante largo tiempo se descarto la posibilidad de encontrar nuevos estados de materia en condiciones en las que no era posible romper ninguna simetría. Este era el caso cuando se estudiaban capas extremadamente finas de algunos materiales. Hasta que Thouless y Kosterlitz aparecieron y predijeron una nueva transición de fase en esas condiciones, que no llevaba asociada ninguna rotura de simetría. Con esta aportación desafiaron el pilar básico de la teoría existente y abrieron la puerta a numerosos y apasionantes descubrimientos que siguen hasta hoy día. Para entender la naturaleza de su propuesta primero tenemos que introducir los conceptos básicos de la topología.
Transformaciones e invariantes topológicos
Simplificando mucho, la topología estudia las propiedades de objetos que no cambian cuando son sometidos a transformaciones continuas, los llamados invariantes topológicos. Un ejemplo clásico es el numero de agujeros de un objeto. Si tomamos una bola de plastilina, la podemos moldear hasta formar un cuenco, o un vaso. Eso es una transformación continua. Pero si queremos moldear una taza, necesariamente tendremos que rasgar la pieza de plastilina o pegarle un pedazo más para formar el asa. El motivo es que el número de agujeros es un invariante topológico, y no se puede modificar por medio de transformaciones continuas (sin romper, rasgar o pegar). En cambio, sí podemos convertir una rosquilla en una taza, y viceversa (Figura 4).
Figura 4. Animación de la transición entre una taza y una rosquilla por medio de transformaciones continuas. Cualquier objeto que podamos moldear sin quitar o añadir agujeros será topológicamente equivalente.
Otra característica importante de las propiedades que estudia la topología es que son globales en lugar de locales. Es decir, no podemos determinar el valor de los invariantes topológicos observando una parte del objeto, necesitamos observar su totalidad.
Estados topológicos
A pesar de que nuestro mundo es tridimensional, hay situaciones en las que solo una o dos de estas dimensiones entran en juego. Es el caso de materiales como el grafeno (una capa de grafito de un solo átomo de grosor), capas ultradelgadas de superfluidos o cadenas de átomos. En estos sistemas extremos se pensaba que no era posible identificar transiciones de fase, hasta que en 1972 Thouless y Kosterlitz propusieron un mecanismo totalmente nuevo que permitía la transición entre estados que son topológicamente distintos -es decir, que no es posible pasar de uno a otro de forma suave (Figura 5). Esta nueva transición es topológica porque en lugar de producirse por una rotura de simetría, como las transiciones ordinarias, se produce debido a un cambio en el valor de un invariante topológico del sistema. Es como si al modificar la temperatura pudiéramos variar el numero de agujeros de un objeto, pasando del estado «vaso» (0 agujeros) al estado «taza» (1 agujero).
Figura 5. Ejemplo de estados topológicamente distintos para un material magnético en dos dimensiones. Las flechas representan la dirección en la que apuntan los pequeños imanes de los electrones. En la imagen de la izquierda vemos un punto llamado vórtice (en rojo), alrededor del cual las flechas giran en sentido horario. En la imagen derecha vemos un vórtice y un anti-vórtice (azul), alrededor del cual las flechas giran en sentido antihorario. El número de vórtices (vorticidad) es un invariante topológico del material, no podemos crear o destruir un vórtice con rotaciones continuas de las flechas. Thouless y Kosterlitz se dieron cuenta de que el estado sin vórtices es equivalente a uno con un vórtice y un anti-vórtice, ya que estos se compensan. A bajas temperaturas en el material pueden aparecer parejas de vórtice y anti-vórtice que se comportan como una sola partícula. Cuando la temperatura supera un cierto valor las parejas se separan, dando lugar a la transición de fase.
Ya en los años ochenta, Haldane y de nuevo Thouless utilizaron estas ideas idea para describir estados de la materia que hasta el momento no se comprendían bien. Estos estados topológicos presentan propiedades sorprendentes que hacen presagiar revolucionarias aplicaciones en un futuro próximo. Por ejemplo, uno de los materiales más sorprendentes es el aislante topológico: aislante en su interior, pero conductor de la electricidad por su superficie.
Una característica importante es que se trata de estados muy robustos, ya que no es fácil modificar la topología del sistema – digamos que podemos estirar mucho el «vaso» antes de que se rompa y se convierta en una «taza». Esto los hace muy prometedores para la computación cuántica, ya que uno de los principales problemas es como evitar que las frágiles propiedades cuánticas se pierdan. Los estados topológicos pueden convertirse en la solución a este y otros problemas.